连续随机变量 $X$ 的累积分布函数 $F$ 为

(a) 画出 $X$ 的概率密度函数的图像草图。

(b) 求 $E(X)$。

(c) 求 $X$ 的四分位距的精确值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

对累积分布函数分段求导。算出两条线段的端点以及它们在 $x=4$ 的共同高度。

On $2<x<4$, the density is $(x-2)/6$. On $4<x<8$, it is $(8-x)/12$. It is zero outside the support. The sketch consists of straight segments joining $(2,0)$ to $(4,1/3)$ and then to $(8,0)$.

对 $xf_X(x)$ 分段积分，两段分别使用 (a) 的一次式。

The mean is

$F_X(4)=1/3$，因此两个四分位数落在不同分段。分别求解并相减。

The lower quartile satisfies $(x-2)^2/12=1/4$ on $[2,4]$, giving $2+\sqrt3$. The upper quartile satisfies $1-(8-x)^2/24=3/4$ on $[4,8]$, giving $8-\sqrt6$. The interquartile range is $6-\sqrt6-\sqrt3$.