如图所示，连续随机变量 $X$ 的概率密度函数 f 如下：

其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数。

(a) 证明 $a = \frac{2}{13}$，并求 $b$ 和 $c$ 的值。

(b) 求 $X$ 的均值。

(c) 求 $X$ 的中位数。

随机变量 $Y$ 定义为 $Y = X^2$。

(d) 求 $Y$ 的累积分布函数。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

图中密度由矩形和三角形组成。用总面积求高度，再用直线的两个端点求斜率和截距。

The rectangle has area $5a$ and the triangle has area $3a/2$. Since their sum is $1$, we have $a=2/13$. The descending line passes through $(5,a)$ and $(8,0)$, so $c=a/3=2/39$. From $b-8c=0$, we get $b=16/39$.

对两段分别积分 $xf(x)$。右段先把密度写成与端点 $8$ 有关的形式。

The mean is

到 $x=5$ 的累计概率已经超过一半。中位数在密度为常数的第一段内。

We have $F_X(5)=10/13>1/2$. For $0\le m\le5$, $F_X(m)=2m/13$. Setting this equal to $1/2$ gives the median $m=13/4=3.25$.

因为 $X$ 非负，$Y\le y$ 等价于 $X\le\sqrt y$。右段可以用剩下的小三角形面积求补概率。

For $y\ge0$, $F_Y(y)=F_X(\sqrt y)$. The breakpoints $0,5,8$ for $X$ become $0,25,64$ for $Y$. For $5<x\le8$,

Therefore