$Y$ 是一个离散随机变量，取值为 $0, 2, 4, \ldots$。$Y$ 的概率母函数为

(a) 用 $a$ 表示 $k$。

(b) 证明 $P(Y > 2) = a^2$。

现在给定 $a = 0.2$。

(c) 求 $E(Y)$ 的值。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

生成函数在 $t=1$ 处等于总概率 $1$。由此求分子常数。

From $G_Y(1)=k/(1-a)=1$, we obtain $k=1-a$.

展开生成函数的前两项得到 $P(Y=0)$ 与 $P(Y=2)$，再用补事件。

The expansion begins $(1-a)(1+at^2+a^2t^4+\cdots)$. Thus

也可以把 $t^4$ 开始的所有系数直接相加。它们构成公比为 $a$ 的等比级数。

For a valid PGF of this form, $0\le a<1$. The upper-tail probability is

概率生成函数在零点的值给出零次项概率，二阶导数在零点的值除以 $2!$ 给出二次项概率。

Writing $k=1-a$, differentiation gives

Consequently $\Pr(Y=0)=G_Y(0)=k$ and $\Pr(Y=2)=G_Y''(0)/2!=ak$. The support contains only nonnegative even integers, so

用生成函数的一阶导数在 $1$ 处求均值，再代入 $a=0.2$。

Differentiating gives $G_Y'(t)=2at(1-a)/(1-at^2)^2$. Therefore