一位医生正在研究有发展为 2 型糖尿病风险的患者的血糖浓度，其中血糖用适当的单位测量。医生声称，某种特定干预平均会使血糖浓度降低超过 $k$ 个单位。随机选取一组 8 名有风险的患者，每名患者进行该干预六个月。干预前后的血糖浓度如下表所示。

(a) 在 5% 显著性水平下使用 t 检验，求使检验结果为拒绝原假设的 $k$ 的取值范围。

(b) 说明 part (a) 中检验有效所需的一个假设。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用每位患者干预前减干预后的差值。统计量随 $k$ 增大而减小，因此用右尾临界值反求 $k$ 的上界。

Let $\mu_D$ be the population mean reduction. Test $H_0\colon\mu_D=k$ against $H_1\colon\mu_D>k$. The reductions are $19,17,8,16,9,23,6,5$, so

The test statistic is $(12.875-k)/\sqrt{s_D^2/8}$. With $7$ degrees of freedom, the upper $5\%$ critical value is $1.895$. Using rejection at or above the critical value, we require

The upper boundary is about $8.38$ units. If $k$ is restricted to represent a nonnegative reduction, its lower bound is $0$.

配对 $t$ 检验对减少量作分布假设，减少量是同一患者的前后差。

The population distribution of the paired reductions in blood glucose is assumed to be normal.