一个袋子中有 7 个红球和 3 个蓝球。Kieran 随机取出 2 个球，不放回。Kieran 取出的红球个数记为 $X$，Kieran 所取球中出现的不同颜色的种数记为 $Y$。

(a) 求 $X$ 的概率母函数 $G_X(t)$ 和 $Y$ 的概率母函数 $G_Y(t)$。

随机变量 $Z$ 是红球个数与 Kieran 所取球中出现的不同颜色种数之和。Kieran 声称 $Z$ 的概率母函数等于 $G_X(t) \times G_Y(t)$。

(b) 解释为什么 Kieran 是错误的。

(c) 求 $Z$ 的概率母函数，并将答案表示为 $t$ 的多项式。

(d) 使用 $Z$ 的概率母函数求 $E(Z)$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先列出两球同色或异色的三种情况。用组合数算各情况概率，再分别按 $X$ 和 $Y$ 的取值归类。

The unordered pairs are equally likely, with $\binom{10}{2}=45$ choices. The probabilities are

The corresponding $(X,Y)$ values are $(0,1)$, $(1,2)$ and $(2,1)$. Therefore

判断知道红球数后，颜色种数是否仍可能取不同值。

The two variables are dependent. For example, $X=1$ forces $Y=2$, so $\Pr(Y=2\mid X=1)=1$ whereas $\Pr(Y=2)=7/15$. Consequently the independence rule for multiplying the two PGFs does not apply.

在每种实际抽取情况中把 $X$ 和 $Y$ 相加，再将得到同一个和的概率合并。

The blue-blue outcome gives $Z=1$ with probability $1/15$. Both red-blue and red-red give $Z=3$, with total probability $14/15$. Thus

对 (c) 的生成函数求导，并在 $t=1$ 处取值。

We have $G_Z'(t)=(1+42t^2)/15$, so $\operatorname E[Z]=G_Z'(1)=43/15$.