连续随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f$ 为

(a) 证明 $k=\frac{6}{17}$。

(b) 求 $X$ 的累积分布函数。

(c) 求 $X$ 的中位数。

(d) 求 $E\bigl(\frac{1}{X}\bigr)$。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分别对两段密度积分，再令总概率为 $1$。

The total integral is

Setting this equal to $1$ gives $k=6/17$.

第一段从零开始积分。第二段需要加上 $x=1$ 以前已累计的概率。

For $0\le x<1$, $F_X(x)=\int_0^x(6/17)u\,\mathrm{d}u=3x^2/17$. For $1\le x\le2$,

Thus

分界点的累积概率为 $3/17$，小于 $1/2$，所以用第二段求中位数。

The median $m$ lies between $1$ and $2$. The equation $(2m^3+1)/17=1/2$ gives $m^3=15/4$. Hence $m=(15/4)^{1/3}\approx1.55$.

用 $1/x$ 乘每段密度后再积分。第一段的 $x$ 会约掉，左端的积分有限。

We have