Lina 和 Mona 是两位统计学家，她们也写歌。一首歌的“时长”是指这首歌持续的分钟数。Lina 从她的歌曲中随机抽取 10 首，计算总体平均时长 $\mu$ 分钟的 95% 置信区间。该置信区间为 $2.95 \leq \mu \leq 3.13$。Lina 歌曲的时长 $x$ 分钟服从正态分布。

(a) 求 Lina 样本中这 10 首歌的 $\sum x$ 和 $\sum x^2$。

Mona 歌曲的时长 $y$ 分钟服从正态分布。Mona 的 8 首歌曲组成的随机样本时长汇总如下。

Mona 声称她歌曲的总体平均时长大于 Lina 歌曲的总体平均时长。

(b) 假设两个分布具有相同的总体方差，在 5% 显著性水平下检验是否有证据支持 Mona 的说法。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

由置信区间的中点求均值，由半宽和 $t$ 临界值求样本方差。再反推平方和。

The interval midpoint is $\bar x=(2.95+3.13)/2=3.04$, so $\sum x=30.4$. Its half-width is $0.09$. With $9$ degrees of freedom, $t_{0.975,9}=2.262$, hence

Therefore

使用 (a) 的未舍入方差。两组正态总体方差相同，用合并方差做右尾两样本 $t$ 检验。

Let $\mu_X$ and $\mu_Y$ be the population mean times of Lina’s and Mona’s songs. Test $H_0\colon\mu_Y=\mu_X$ against $H_1\colon\mu_Y>\mu_X$. Mona’s sample mean is $24.8/8=3.10$, and her unbiased sample variance is

The pooled variance is

The statistic is

With $16$ degrees of freedom, the upper $5\%$ critical value is $1.746$. Since the statistic is smaller, we fail to reject $H_0$. There is insufficient evidence at the $5\%$ level that Mona’s songs have a greater population mean duration.