离散随机变量 $X$ 的概率生成函数 $\mathrm{G}_X(t)$ 定义为

已知 $\mathrm{E}(X)=\frac{1}{3}$。

(a) 证明 $a=2$，并求 $k$ 的值。

(b) 求 $\operatorname{Var}(X)$。

(c) 对 $X$ 进行三次相互独立的观测。随机变量 $Y$ 是这三次观测值的和。

求 $\mathrm{P}(Y=0)$。

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展开成含 $t^{-1}$、常数和 $t$ 的式子。用概率和与均值建立两个方程。

We have $G_X(t)=k(t^{-1}+2a+a^2t)$. Normalisation gives $k(a+1)^2=1$. The coefficients at $t^{-1}$ and $t$ correspond to $X=-1$ and $X=1$, so

Since $a+1\ne0$, dividing by $k(a+1)^2=1$ gives $(a-1)/(a+1)=1/3$. Thus $3a-3=a+1$, giving $a=2$ and $k=1/9$.

先把母函数展开后求导，再用 $G_X(1)=1$ 与 $G_X'(1)=E(X)$ 联立消元。

Expanding and differentiating,

Hence

The first equation implies $a\ne-1$. Dividing gives

Thus $3a-3=a+1$, so $a=2$. Substitution into $k(a+1)^2=1$ gives $k=1/9$.

直接用三个取值及其概率求二阶矩，再减去均值平方。

The probabilities at $-1,0,1$ are respectively $1/9,4/9,4/9$. Thus $\operatorname E[X^2]=1/9+4/9=5/9$, and

也可以对含负幂的生成函数求两阶导数。导数在 $1$ 处仍给出相应的阶乘矩。

From $G_X(t)=(t^{-1}+4+4t)/9$,

Thus $G_X'(1)=1/3$ and $G_X''(1)=2/9$. Using $\operatorname{Var}(X)=G_X''(1)+G_X'(1)-\big(G_X'(1)\big)^2$,

三个独立观察使生成函数取三次幂。外因子是 $t^{-3}$，所以常数概率来自括号内的三次项。

We have

The coefficient of $t^0$ is $\binom63 2^3/729=160/729$. Hence $\Pr(Y=0)=160/729$.

也可直接枚举总和为零的取值组合。除了三个零，还可以各取一个 $-1$、$0$、$1$。

Three zeros have probability $(4/9)^3$. The three distinct values $-1,0,1$ can occur in $6$ orders, each with probability $(1/9)(4/9)(4/9)$. Therefore