题目

Problem

The discrete random variable $X$ has probability generating function $\mathrm{G}_X(t)$ given by

\mathrm{G}_X(t)=0.1+0.3t+0.4t^2+0.2t^3.

(a) Use $\mathrm{G}_X(t)$ to find $\mathrm{E}(X)$ and $\operatorname{Var}(X)$ .

(5)

(b) The random variable $Y$ is defined by $Y=3X+2$ .

Find the probability generating function of $Y$ .

(2)

题目中文翻译

离散随机变量 $X$ 的概率生成函数 $\mathrm{G}_X(t)$ 为

\mathrm{G}_X(t)=0.1+0.3t+0.4t^2+0.2t^3.

(a) 利用 $\mathrm{G}_X(t)$ 求 $\mathrm{E}(X)$ 和 $\operatorname{Var}(X)$ 。

(5)

(b) 随机变量 $Y$ 定义为 $Y=3X+2$ 。

求 $Y$ 的概率生成函数。

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

对生成函数求两阶导数。代入 $t=1$ 分别得到均值与二阶阶乘矩。

答题过程

展开

We have

\begin{align*} &\,G_X'(t)=0.3+0.8t+0.6t^2,\\ &\,G_X''(t)=0.8+1.2t. \end{align*}

Thus $G_X'(1)=1.7$ and $G_X''(1)=2$ . Hence $\operatorname E[X]=1.7$ and

\begin{align*} \operatorname{Var}(X)=&\,G_X''(1)+G_X'(1)-\big(G_X'(1)\big)^2\\ =&\,2+1.7-1.7^2=0.81. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

原生成函数的每个幂次 $x$ 变成 $3x+2$ 。先将幂次乘以 $3$ ，再统一加 $2$ 。

答题过程

展开

Since $t^{3X+2}=t^2(t^3)^X$ ,

G_Y(t)=t^2G_X(t^3)=0.1t^2+0.3t^5+0.4t^8+0.2t^{11}.

CIE 9231 2026 June Paper 43 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程