随机变量 $X$ 的概率生成函数 $\mathrm{G}_X(t)$ 为

(a) 利用 $\mathrm{G}_X(t)$ 求 $\mathrm{E}(X)$ 和 $\operatorname{Var}(X)$。

(b) 随机变量 $Y$ 是对 $X$ 进行三次相互独立的观测所得观测值的和。

求 $\mathrm{P}(Y\le2)$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

展开生成函数，求两阶导数在 $1$ 处的值，再代入方差公式。

The expanded PGF is $G_X(t)=(2+2t+t^2+t^3)/6$, so

Hence

Thus $\operatorname E[X]=7/6$ and

用独立性将生成函数取三次幂。只保留常数、一次项、二次项，不必展开更高次项。

We have $G_Y(t)=G_X(t)^3=\frac1{216}(1+t)^3(2+t^2)^3$. Up to degree two, the two factors are $1+3t+3t^2$ and $8+12t^2$. Thus the coefficients of $1,t,t^2$ in their product are $8,24,36$. Therefore

也可以枚举三个观察值相加不超过 $2$ 的组合，再计算每种排列的概率。

The probabilities for $X=0,1,2$ are $1/3,1/3,1/6$. The allowed triples, up to ordering, are $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(2,0,0)$ and $(1,1,0)$. Independence gives