一枚 6 面骰子 $A$，各面编号为 1, 2, 3, 4, 5, 6。它是不公平的，掷出 6 的概率为 $\frac{1}{4}$。随机变量 $X$ 表示骰子 $A$ 掷两次时得到 6 的次数。

(a) 求 $X$ 的概率生成函数。

第二枚 6 面骰子 $B$，各面编号为 1, 2, 3, 4, 5, 6。它是公平的。随机变量 $Y$ 表示骰子 $B$ 掷两次时得到 6 的次数。

随机变量 $Z$ 表示两枚骰子各掷两次时得到 6 的总次数。

(b) 求 $Z$ 的概率生成函数，并将答案表示为多项式。

(c) 求 $\operatorname{Var}(Z)$。

(d) 使用 $Z$ 的概率生成函数，求 $Z$ 最可能的取值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

一次投掷只记录是否得到 $6$。把该指示变量的生成函数平方。

With success probability $1/4$, one throw has PGF $3/4+t/4$. The throws are independent, so

公平骰子每次掷出 $6$ 的概率是 $1/6$。求它两次投掷的生成函数，再与 (a) 相乘展开。

Here $G_Y(t)=((5+t)/6)^2$. Thus

从生成函数在 $1$ 处的导数求均值和阶乘矩，再求方差。

Differentiating the polynomial in (b) gives

Hence

也可以把两颗骰子的成功次数视为独立的二项变量，直接将两组方差相加。

We have $X\sim\operatorname{Binomial}(2,1/4)$ and $Y\sim\operatorname{Binomial}(2,1/6)$. Therefore

比较 (b) 各项系数。最大系数对应最可能的成功次数。

The largest coefficient is $240/576$, on the term in $t$. Thus the most probable value is $Z=1$.