题目

Problem

The continuous random variable $X$ has cumulative distribution function $F$ given by

F(x)= \begin{cases} 0, & x < 0,\\ 1-\frac{1}{144}(12-x)^2, & 0 \le x \le 12,\\ 1, & x > 12. \end{cases}

(a) Find the upper quartile of $X$ .

[2]

(b) Find $\operatorname{Var}(X^2)$ .

[5]

The random variable $Y$ is given by $Y=\sqrt{X}$ .

[3]

题目中文翻译

连续随机变量 $X$ 的累积分布函数 $F$ 为

F(x)= \begin{cases} 0, & x < 0,\\ 1-\frac{1}{144}(12-x)^2, & 0 \le x \le 12,\\ 1, & x > 12. \end{cases}

(a) 求 $X$ 的上四分位数。

(2)

(b) 求 $\operatorname{Var}(X^2)$ 。

(5)

随机变量 $Y$ 定义为 $Y=\sqrt{X}$ 。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

上四分位数的累计概率是 $3/4$ 。开平方时，支撑区间保证 $12-x\ge0$ 。

答题过程

展开

The upper quartile $u$ satisfies $1-(12-u)^2/144=3/4$ , so $(12-u)^2=36$ . On $[0,12]$ , this gives $12-u=6$ , hence $u=6$ .

(b)

解法一

思路

展开

先对分布函数求导。要算 $X^2$ 的方差，需要 $X$ 的二阶矩和四阶矩。

答题过程

展开

The density on $0<x<12$ is $(12-x)/72$ . For $j=2$ or $4$ ,

\begin{align*} &\,\operatorname E[X^j]\\ =&\,\frac1{72}\int_0^{12}x^j(12-x)\,\mathrm{d}x\\ =&\,\frac1{72}\Big[\frac{12x^{j+1}}{j+1}-\frac{x^{j+2}}{j+2}\Big]_0^{12}\\ =&\,\frac{12^{j+2}}{72}\Big(\frac1{j+1}-\frac1{j+2}\Big)\\ =&\,\frac{2\,12^j}{(j+1)(j+2)}. \end{align*}

Thus $\operatorname E[X^2]=2(12^2)/(3\cdot4)=24$ and $\operatorname E[X^4]=2(12^4)/(5\cdot6)=1382.4$ . Therefore

\operatorname{Var}(X^2)=1382.4-24^2=806.4.

(c)

解法一

思路

展开

对非负 $y$ ，将 $\sqrt X\le y$ 改写为 $X\le y^2$ 。在新的支撑区间上求导。

答题过程

展开

The support of $Y$ is $[0,\sqrt{12}]$ . On this interval,

F_Y(y)=F_X(y^2)=1-\frac{(12-y^2)^2}{144}.

The CDF is constant outside the interval. Differentiating gives

f_Y(y)= \begin{cases} y(12-y^2)/36, & 0\le y\le\sqrt{12},\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}

CIE 9231 2022 Nov Paper 43 Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程