随机变量 $X$ 服从几何分布 $\operatorname{Geo}(p)$。

(a) 证明 $X$ 的概率生成函数为 $\frac{pt}{1-qt}$，其中 $q=1-p$。

(b) 使用 $X$ 的概率生成函数证明 $\operatorname{Var}(X)=\frac{q}{p^2}$。

Kenny 反复投掷一枚普通公平的 6 面骰子。随机变量 $X$ 表示 Kenny 为了掷出 6 所需的投掷次数。随机变量 $Z$ 表示两个相互独立的 $X$ 的取值之和。

(c) 求 $Z$ 的概率生成函数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

把首次成功发生在第 $j$ 次的概率乘以 $t^j$。这些项形成公比为 $qt$ 的等比级数。

The geometric distribution counts trials up to and including the first success. For $j\ge1$, $\Pr(X=j)=q^{j-1}p$, where $q=1-p$. Thus

where $|qt|<1$.

求生成函数在 $1$ 处的一阶和二阶导数。二阶导数给出阶乘矩，需要加回均值才能得到二阶矩。

Differentiating and simplifying,

Since $1-q=p$,

Therefore

每次掷出 $6$ 的概率为 $1/6$。先代入 (a)，再用独立性求两个等待次数之和的生成函数。

Here $p=1/6$ and $q=5/6$, so $G_X(t)=t/(6-5t)$. Since $Z$ is the sum of two independent copies,