Toby 有一个袋子，里面有 6 个红色弹珠和 3 个绿色弹珠。他从袋中随机取出 3 个弹珠，且不放回。随机变量 $X$ 表示 Toby 取到的红色弹珠个数。

(a) 求 $X$ 的概率生成函数。

Ling 也有一个袋子，里面有 6 个红色弹珠和 3 个绿色弹珠。他从袋中随机取出 2 个弹珠，且不放回。随机变量 $Y$ 表示 Ling 取到的红色弹珠个数。已知 $Y$ 的概率生成函数为 $\frac{1}{12}(1+6t+5t^2)$。

随机变量 $Z$ 表示 Toby 和 Ling 取到的红色弹珠总数。

(b) 求 $Z$ 的概率生成函数，并将答案表示为关于 $t$ 的多项式。

(c) 使用 $Z$ 的概率生成函数求 $\operatorname{Var}(Z)$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

不放回抽样时，用组合数分别计算选到 $j$ 个红球和 $3-j$ 个绿球的方法数。

There are $\binom93=84$ equally likely subsets. For $j=0,1,2,3$,

The numerators are $1,18,45,20$, so

两个袋子的抽取独立，所以总数的生成函数是两个生成函数的乘积。展开并合并各次幂。

The generating function is

用多项式在 $1$ 处的一阶和二阶导数求均值及二阶阶乘矩，再算方差。

From (b),

Therefore