图中显示连续随机变量 $X$，其概率密度函数 $f$ 为

其中 $a$、$b$ 和 $c$ 为常数。

$X$ 的上四分位数等于 4。

(a) 证明 $c=\frac{1}{8}$，并求 $a$ 和 $b$ 的值。

(b) 求 $X$ 的中位数的精确值。

(c) 求 $\operatorname{E}(\sqrt{X})$，答案精确到 2 位小数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

上四分位数把右段的概率定为 $1/4$。再用左段的面积和两段在 $x=4$ 的接合条件求系数。

Since $4$ is the upper quartile, the area from $4$ to $6$ is $1/4$. It equals $2c$, so $c=1/8$. The area from $0$ to $4$ gives

so $a-2b=3$. The two density expressions agree at $4$, giving $(16a-64b)/128=1/8$, or $a-4b=1$. Subtraction yields $b=1$ and $a=5$.

中位数小于上四分位数 $4$，所以用左段积分。令 $u=m^2$ 把方程降成二次方程。

The median $m$ is between $0$ and $4$. It satisfies

Thus $m^4-40m^2+256=0$, or $(m^2-8)(m^2-32)=0$. Only $m^2=8$ gives $0<m<4$. Hence the exact median is $m=2\sqrt2$.

在两段上分别积分 $\sqrt x$ 乘密度，最后将结果取到两位小数。

The expectation is

This is $1.67$ to two decimal places.