如图所示，连续随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f$ 为

其中 $m$、$k$ 和 $c$ 为常数。

(a) 已知 $\mathrm{P}(X \leq 2)=\frac{1}{3}$，证明 $m=\frac{1}{6}$，并求 $k$ 和 $c$ 的值。

(b) 求 $X$ 的四分位距的精确数值。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先用左段面积求 $m$。图中两段在 $x=2$ 接合，再用右段的总概率得到第二个方程。

Since $\int_0^2 mx\,\mathrm{d}x=2m=1/3$, we have $m=1/6$. The two expressions agree at $x=2$, giving

The mass on $[2,6]$ is $2/3$, so

Subtracting the second equation from four times the first gives $2k/3=2/3$. Hence $k=1$ and $c=1/12$.

$F_X(2)=1/3$ 介于两个四分位概率之间，所以下四分位数用第一段，上四分位数用第二段。

On $[0,2]$, $F_X(x)=x^2/12$. Thus the lower quartile solves $x^2/12=1/4$ and is $\sqrt3$. On $[2,6]$,

Setting this to $3/4$ gives $x^2-x-12=(x-4)(x+3)=0$, so the upper quartile is $4$. The interquartile range is $4-\sqrt3$.