随机变量 $X$ 的概率生成函数 $G_X(t)$ 为

其中 $p$ 和 $q$ 为常数。

(a) 已知 $\mathrm{E}(X) = 1.1$，求 $\mathrm{Var}(X)$ 的数值。

随机变量 $Y$ 的概率生成函数 $G_Y(t)$ 为

随机变量 $Z$ 是 $X$ 和 $Y$ 的独立观测值之和。

(b) 求 $Z$ 的概率生成函数。

(c) 求 $\mathrm{P}(Z > 2)$。

(d) 写出 $Z$ 最可能的取值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用生成函数在 $1$ 处的函数值和一阶导数求 $p,q$。再由二阶导数得到方差。

Differentiating gives $G_X'(t)=p+2qt$ and $G_X''(t)=2q$. We have $G_X(1)=1$ and $G_X'(1)=1.1$. These give $p+q=0.8$ and $p+2q=1.1$, so $q=0.3$ and $p=0.5$. Thus $G_X''(1)=2q=0.6$ and

独立变量相加时，将它们的生成函数相乘。展开后合并同次幂。

Using independence and the coefficients found in (a),

用补事件，只需从 $1$ 减去一次项和二次项的系数。

There is no constant term, so

生成函数各项的系数是对应取值的概率。找最大的系数。

The largest coefficient is $1/3$, on the term in $t^2$. The most probable value is $Z=2$.