题目

Problem

The random variable $X$ has probability density function $f$ given by

f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{21}(x - 1)^2, & 2 \leq x \leq 5, \\ 0, & \text{otherwise.} \end{cases}

(a) Find the cumulative distribution function of $X$ .

[3]

The random variable $Y$ is defined by $Y = (X - 1)^4$ .

(b) Find the probability density function of $Y$ .

[3]

[2]

(d) Find $\mathrm{E}(Y)$ .

[2]

题目中文翻译

随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f$ 为

f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{21}(x - 1)^2, & 2 \leq x \leq 5, \\ 0, & \text{otherwise.} \end{cases}

(a) 求 $X$ 的累积分布函数。

(3)

随机变量 $Y$ 定义为 $Y = (X - 1)^4$ 。

(b) 求 $Y$ 的概率密度函数。

(3)

(2)

(d) 求 $\mathrm{E}(Y)$ 。

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

只在支撑区间内从左端积分。区间以下累计概率为 $0$ ，区间以上为 $1$ 。

答题过程

展开

For $2\le x\le5$ ,

\int_2^x\frac{(u-1)^2}{21}\,\mathrm{d}u=\frac{(x-1)^3-1}{63}.

Hence

F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<2,\\ ((x-1)^3-1)/63, & 2\le x\le5,\\ 1, & x>5. \end{cases}

(b)

解法一

思路

展开

在 $X$ 的支撑区间上， $(X-1)^4$ 严格递增。先反解事件中的 $X$ ，再对新累积分布求导。

答题过程

展开

The support of $Y$ is $[1,256]$ . On that interval,

\begin{align*} &\,F_Y(y)=\Pr(X\le1+y^{1/4})\\ =&\,F_X(1+y^{1/4})=\frac{y^{3/4}-1}{63}. \end{align*}

The CDF is constant outside this interval. Therefore a density is

f_Y(y)= \begin{cases} y^{-1/4}/84, & 1\le y\le256,\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}

(c)

解法一

思路

展开

中位数在支撑区间内，令该处的累计概率等于 $1/2$ 。

答题过程

展开

The median $m$ satisfies $(m^{3/4}-1)/63=1/2$ . Thus $m^{3/4}=65/2$ , giving $m=(65/2)^{4/3}=103.715\ldots$ , or $104$ to three significant figures.

(d)

解法一

思路

展开

用新密度求期望。把积分中的 $y$ 与密度的幂合并后再积分。

答题过程

展开

We have

\begin{align*} &\,\operatorname E[Y]\\ =&\,\int_1^{256}y\frac{y^{-1/4}}{84}\,\mathrm{d}y\\ =&\,\Big[\frac{y^{7/4}}{147}\Big]_1^{256}\\ =&\,\frac{4^7-1}{147}=\frac{5461}{49}\approx111. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以直接对 $Y=(X-1)^4$ 关于 $X$ 求期望，省去使用变换后的密度。

答题过程

展开

Using the original density,

\begin{align*} &\,\operatorname E[Y]=\operatorname E[(X-1)^4]\\ =&\,\frac1{21}\int_2^5(x-1)^6\,\mathrm{d}x\\ =&\,\Big[\frac{(x-1)^7}{147}\Big]_2^5\\ =&\,\frac{5461}{49}. \end{align*}

CIE 9231 2024 Nov Paper 42 Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程