连续随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f$ 为

其中 $k$ 为常数。

(a) 画出 $f$ 的图像草图。

(b) 证明 $k=\frac{4}{33}$。

(c) 求 $X$ 的累积分布函数。

(d) 求 $X$ 的中位数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

按两段函数的形状画图。在 $x=1$ 比较左极限与函数值，分别标空心点和实心点。

The density is zero outside $[0,5]$. From $x=0$ to $1$, draw the increasing cubic from $(0,0)$ towards an open point at $(1,k)$. At $x=1$, mark the filled point $(1,4k)$, then draw a straight line down to $(5,0)$. Label $1$ and $5$ on the horizontal axis.

分别积分两段密度。概率总和为 $1$，用它求 $k$。

The total integral is

Thus $33k/4=1$, giving $k=4/33$.

第一段从左端积分。第二段可用上尾面积从 $1$ 中扣除，以自动满足右端的累积概率。

For $0\le x<1$, integration from $0$ gives $F_X(x)=x^4/33$. For $1\le x\le5$, the probability above $x$ is

Consequently

The second piece is equivalently $(-2x^2+20x-17)/33$. The two nonconstant pieces agree at the breakpoint by continuity.

由于 $F_X(1)$ 小于 $1/2$，在第二段求中位数。取与区间相符的平方根。

The median $m$ lies between $1$ and $5$, since $F_X(1)=1/33$ and $F_X(5)=1$. The equation $F_X(m)=1/2$ gives

As $m<5$, this yields $m=5-\sqrt{33}/2\approx2.13$.