Nikita 有三枚硬币。一枚硬币是公平的，一枚硬币有偏，使得得到正面的概率为 $\frac{1}{3}$，第三枚硬币有偏，使得得到正面的概率为 $\frac{1}{5}$。随机变量 $X$ 是 Nikita 同时抛掷这三枚硬币时得到的正面数量。

(a) 求 $X$ 的概率生成函数。

Rajesh 有两个公平的六面骰子，面上标有 1, 2, 3, 4, 5, 6。随机变量 $Y$ 是 Rajesh 抛掷两个骰子时得到 4 的数量。

随机变量 $Z$ 是 Nikita 得到的正面数量与 Rajesh 得到的 4 的数量之和。

(b) 求 $Z$ 的概率生成函数，并将答案表示为多项式。

(c) 使用你在(b)中的答案求 $\mathrm{E}(Z)$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

每枚硬币对应一个取值为 $0$ 或 $1$ 的变量。独立抛掷时，将三个一次生成函数相乘。

For a coin with head probability $p$, the head indicator has generating function $(1-p)+pt$. Thus

每颗骰子只记录是否掷出 $4$。把两颗骰子的生成函数与 (a) 相乘，再展开为多项式。

The two dice give $G_Y(t)=((5+t)/6)^2$. By independence of the coin and dice results,

按题意对 (b) 的多项式求导，再代入 $t=1$。

The mean is