连续随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f$ 为

其中 $k$ 为常数。

(a) 证明 $k=3$。

(b) 求 $X$ 的中位数。

随机变量 $Y$ 定义为 $Y=\sqrt{X}$。

(c) 求 $Y$ 的概率密度函数。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分别对两段非零密度积分。两部分概率之和必须为 $1$。

The total probability is

Equating it to $1$ gives $2/k=2/3$, hence $k=3$.

到 $4$ 为止的累计概率只有 $1/3$，所以从第二段积分到中位数。

Since $F_X(4)=1/3$, the median $m$ lies in $(4,9)$. It satisfies

Thus $\sqrt m=9/4$ and the median is $m=81/16$.

先求 $X$ 的累积分布函数，再用 $F_Y(y)=F_X(y^2)$ 换元。对每段求导得到新密度。

On $0\le x<4$, $F_X(x)=x^{3/2}/24$. On $4\le x\le9$,

The CDF is $0$ below $0$ and $1$ above $9$. Since $Y=\sqrt X$, we have $F_Y(y)=F_X(y^2)$ for $y\ge0$. Its nonconstant pieces are $y^3/24$ for $0\le y<2$ and $2y/3-1$ for $2\le y\le3$. Differentiating gives the density

也可以直接对换元关系求导。除了把密度中的输入换成 $y^2$，还要乘 $y^2$ 的导数。

For $y>0$, differentiating $F_Y(y)=F_X(y^2)$ gives $f_Y(y)=2y f_X(y^2)$. For $0<y<2$ this is $2y(y/16)=y^2/8$. For $2<y<3$ it is $2y/(3y)=2/3$. Outside $[0,3]$ the density is zero. Thus the density has the two pieces stated above, with the values at the endpoints chosen by the same piecewise convention.