连续随机变量 $X$ 的累积分布函数 $F$ 为

其中 $a$ 和 $b$ 为常数。

(a) 求 $a$ 和 $b$ 的值。

(b) 求 $X$ 的概率密度函数。

(c) 已知 $\mathrm{E}(X)=\frac{529}{150}$，求 $\operatorname{Var}(X)$。

(d) 求 $X$ 的第 10 百分位数和第 90 百分位数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

连续型随机变量的分布函数在端点连续。用左端累计概率 $0$、右端累计概率 $1$ 求常数。

At $x=1$, continuity gives $1/5+a=0$, so $a=-1/5$. At $x=6$ it gives $36/50+b=1$, so $b=7/25$. At the interior breakpoint $4$, both nonconstant pieces then have value $3/5$, as required.

对分布函数的每个非恒定部分求导。区间外累计概率不变，密度为零。

One version of the density is

用 $x^2$ 乘各段密度再积分，求出二阶矩。最后减去题给均值的平方。

The second moment is

Thus $\operatorname{Var}(X)=73/5-(529/150)^2=48659/22500\approx2.16$.

分界点 $4$ 的累计概率是 $0.6$，所以两个百分位数落在不同的分段。

For the tenth percentile, solve $x/5-1/5=0.1$, giving $x=1.5$. For the ninetieth, solve $x^2/50+7/25=0.9$, giving $x=\sqrt{31}\approx5.57$ on $[4,6]$.