离散随机变量 $X$ 的概率生成函数 $G_X(t)$ 为

(a) 求 $\mathrm{E}(X)$ 和 $\operatorname{Var}(X)$。

离散随机变量 $Y$ 的概率生成函数 $G_Y(t)$ 为

随机变量 $Z$ 是随机变量 $X$ 和 $Y$ 的和。

(b) 假设 $X$ 和 $Y$ 独立，求 $P(Z > 4)$。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

对生成函数求一阶、二阶导数。代入 $t=1$ 得到均值和二阶阶乘矩。

For $G_X(t)=t(3-2t)^{-2}$,

Thus $G_X'(1)=5$ and $G_X''(1)=32$. Hence $\operatorname E[X]=5$ and $\operatorname{Var}(X)=32+5-5^2=12$.

将独立变量的生成函数相乘。最小幂是 $t^3$，所以求出 $t^3$、$t^4$ 的系数即可用补事件。

The generating function of the sum is

The constant and linear terms of $(1-\tfrac23t)^{-4}$ are $1$ and $\tfrac83t$. Hence $\Pr(Z=3)=1/81$ and $\Pr(Z=4)=8/243$. There is no smaller possible value, so

先分别从两个生成函数中读出最小两个取值的概率。独立性允许把对应概率相乘，再枚举和不超过 $4$ 的三种情况。

The first terms of the two generating functions are

Thus $\Pr(X=1)=\Pr(Y=2)=1/9$ and $\Pr(X=2)=\Pr(Y=3)=4/27$. The minimum values are $X=1$ and $Y=2$, so $Z\le4$ consists of the disjoint pairs $(1,2)$, $(1,3)$ and $(2,2)$. By independence,

Hence $\Pr(Z>4)=1-11/243=232/243$.