离散随机变量 $X$ 取值 $r=0,1,2$，其概率 $\mathrm{P}(X=r)$ 如下表所示。

(a) 写出 $X$ 的概率生成函数，并用它求出用 $a$ 和 $b$ 表示的 $\mathrm{E}(X)$。

(b) 证明 $\operatorname{Var}(X)=2b+2(a+b)(1-2a-2b)$。

随机变量 $Y$ 定义为 $Y=X_1+X_2+X_3+\cdots+X_{10}$，其中 $X_1,X_2,X_3,\ldots,X_{10}$ 是 $X$ 的十个独立观测值。

(c) 使用 $Y$ 的概率生成函数以及你在 (a) 中的答案，证明 $\mathrm{E}(Y)=10\mathrm{E}(X)$。

(d) 在 $b=0$ 的情况下，完整定义 $Y$ 的分布。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用概率作系数写出生成函数。其一阶导数在 $t=1$ 处给出期望。

The generating function is $G_X(t)=a+2at+bt^2$. Thus $G_X'(t)=2a+2bt$ and $\operatorname E[X]=G_X'(1)=2(a+b)$.

用生成函数的二阶导数求二阶阶乘矩，再换成方差。

We have $G_X''(1)=2b$. Therefore

也可以直接用表中的三个值和概率求二阶原点矩，再减去均值平方。

The second moment is $0^2a+1^2(2a)+2^2b=2a+4b$. Hence

用独立性把和的生成函数写成十次幂。求导后用 $G_X(1)=1$ 化简。

Since the observations are independent, $G_Y(t)=G_X(t)^{10}$. Differentiating gives

At $t=1$, this becomes

because $G_X(1)=3a+b=1$. Thus $\operatorname E[Y]=10\operatorname E[X]$.

当 $b=0$ 时，每次观察只取 $0$ 或 $1$。先用概率和为 $1$ 求成功概率，再识别二项分布。

For $b=0$, $3a=1$, so $\Pr(X=1)=2a=2/3$ and $\Pr(X=0)=1/3$. Therefore $G_Y(t)=(1/3+(2/3)t)^{10}$, the generating function of $\operatorname{Binomial}(10,2/3)$.