当地居民担心穿过他们村庄的汽车车速。他们记录了一个由 13 辆穿过村庄的汽车组成的随机样本的速度，单位为 $\text{km h}^{-1}$。记录到的速度如下。

$40,\ 53,\ 59,\ 42,\ 43,\ 48,\ 62,\ 67,\ 46,\ 82,\ 66,\ 45,\ 70$

(a) 构造穿过该村庄的汽车总体平均速度的 $90\%$ 置信区间。

(b) 写出 1(a) 中所求置信区间有效所需的一个假设。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

样本量较小且总体方差未知，使用自由度为 $12$ 的 $t$ 区间。先从样本求均值和无偏方差。

The sample has $n=13$, $\sum x=723$ and $\sum x^2=42261$. Thus

For a two-sided $90\%$ interval, the positive $t$ critical value with $12$ degrees of freedom is $t_{0.95,12}=1.782$. The interval is

The $90\%$ confidence interval is $(49.2,62.1)\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1}$ to three significant figures.

小样本的 $t$ 区间需要对车速的总体分布作假设。

The population of speeds of cars passing through the village is assumed to be normally distributed.