连续随机变量 $X$ 的概率密度函数 $\mathrm{f}$ 定义为

(a) 求 $X$ 的累积分布函数。

(b) 求 $X$ 的中位数的精确值。

随机变量 $Y$ 定义为 $Y=\sqrt{X}$。

(c) 求 $Y$ 的累积分布函数。

(d) 判断 $Y$ 的中位数大于还是小于 $X$ 的中位数。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

累积分布函数把密度从左侧积分到 $x$。进入第二段时，要把第一段已经累积的概率加上。

For $0\le x\le1$, integrating the first density gives

In particular, $F_X(1)=2/3$. For $1<x\le2$,

Thus

先用 $F_X(1)>1/2$ 确定中位数落在第一段，再解该段的二次方程。

Since $F_X(0)=0$ and $F_X(1)=2/3$, the median $m_X$ lies in $(0,1)$. It solves

Thus the exact median is $m_X=\sqrt{13}/2-1$.

当 $y\ge0$ 时，事件 $\sqrt X\le y$ 等价于 $X\le y^2$。分段条件也要换成 $y$ 的范围。

Since $Y\ge0$, $F_Y(y)=0$ for $y<0$. For $y\ge0$, $F_Y(y)=F_X(y^2)$. Therefore

平方根变换严格递增，所以中位数也做同样的变换。比较 $0$ 与 $1$ 之间的数及其平方根。

By (c), $F_Y(\sqrt{m_X})=F_X(m_X)=1/2$, so $m_Y=\sqrt{m_X}$. Since $0<m_X<1$, we have $\sqrt{m_X}>m_X$. Hence the median of $Y$ is greater than the median of $X$.

也可以把 $X$ 的中位数直接代入 $Y$ 的累积分布函数，再与 $1/2$ 比较。

Using the unrounded $m_X=\sqrt{13}/2-1$ in (c) gives

Since $F_Y$ is strictly increasing on the interior of its support, the median of $Y$ is greater than $m_X$.