随机变量 $X$ 取值 1 和 2，对应概率分别为 $\frac{2}{5}$ 和 $\frac{3}{5}$。

(a) 写出 $X$ 的概率生成函数 $G_X(t)$。

随机变量 $Y$ 是 $X$ 的四个独立观测值之和。

(b) 求 $Y$ 的概率生成函数 $G_Y(t)$。答案写成 $G_Y(t)=at^m(b+ct)^n$ 的形式，其中 $a$、$b$、$c$、$m$ 和 $n$ 为需要确定的常数。

(c) 使用 $G_Y(t)$ 求 $\mathrm{P}(Y=6)$。

(d) 求 $\operatorname{Var}(Y)$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

把每个可能值作为 $t$ 的指数，用它的概率作为系数。

The probability generating function is $G_X(t)=\tfrac25t+\tfrac35t^2$.

独立随机变量之和的生成函数等于各生成函数的乘积。先从每个因子提出 $t/5$。

The four observations are independent, so

One choice of constants is $a=1/625$, $m=4$, $b=2$, $c=3$ and $n=4$.

概率对应 $t^6$ 的系数。外面已有 $t^4$，所以只取括号里的二次项。

The coefficient of $t^6$ is

Thus $\Pr(Y=6)=216/625$.

生成函数在 $1$ 处的一阶、二阶导数分别给出均值与二阶阶乘矩。用链式法则求这两个量。

We have $G_X(1)=1$, $G_X'(1)=8/5$ and $G_X''(1)=6/5$. Differentiating $G_Y=G_X^4$ gives

Evaluating at $t=1$, we obtain

Since $G_Y''(1)=\operatorname E[Y(Y-1)]$, the variance is

也可以先直接求一次观察的方差，再用独立性把四次观察的方差相加。

For one observation,

Thus $\operatorname{Var}(X)=14/5-(8/5)^2=6/25$. Independence gives $\operatorname{Var}(Y)=4(6/25)=24/25$.