一名骑车者从固定点 $O$ 由静止出发沿直线运动，并在 $k$ 秒后停止运动。离开 $O$ 后 $t\,\mathrm{s}$ 时，她的加速度为 $a\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，其中当 $0<t\le k$ 时，$a=2t^{-\frac12}-\frac35t^{\frac12}$。

(a) 求 $k$ 的值。

(b) 求骑车者的最大速率。

(c) 求相对于 $O$ 的位移关于 $t$ 的表达式。进而求从她达到最大速率时起到停止运动为止经过的总路程。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

加速度积分得到速度，用静止出发确定积分常数，再找下一次速度为零的时刻。

Integrating the acceleration,

Since the cyclist starts from rest, $v\to0$ as $t\to0^+$, so $C=0$. Therefore

The next rest time is the positive root $10-t=0$. Hence $\boxed{k=10}$.

运动期间速度非负，最大速率出现在加速度由正变负之处。

For $0<t<10$ the velocity is positive, so speed equals velocity. Also

Thus $a=0$ at $t=10/3$, with $a>0$ before this time and $a<0$ afterwards. Hence the speed is maximised there:

对速度积分，并用初始位移零确定常数。最大速率以后直到停止之前速度仍为正，因此路程就是位移增加量。

Integrating the velocity,

Since $s=0$ at $t=0$, $K=0$. Thus

for $0\le t\le10$.

The velocity is non-negative throughout this interval. Hence the distance travelled from maximum speed to rest is