如图所示，一个质量为 $100\,\mathrm{kg}$ 的物块 $D$ 由两根倾斜支杆 $AD$ 和 $BD$ 支撑。两根支杆分别连接到水平地板上的固定点 $A$ 和 $B$，各与地板成 $45^\circ$ 角。物块还由一根竖直绳 $CD$ 固定，绳的另一端连接到水平天花板上的固定点 $C$。绳 $CD$ 的张力为 $500\,\mathrm{N}$，物块静止且处于平衡状态。

(a) 求支杆 $AD$ 和 $BD$ 中各自的力的大小。

一个大小为 $F\,\mathrm{N}$ 的水平力沿平行于 $AB$ 的方向作用于物块。

(b) 求使支杆 $AD$ 中的力的大小为零的 $F$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

水平对称使两支杆力相等。它们受压，向上分量与绳的500牛共同平衡重力。

Horizontal equilibrium gives equal strut forces, of magnitude $S$. Resolving vertically,

Therefore

in each strut, in compression.

对称先给出两力相等，再垂直其中一根支杆分解，消去该杆力，直接求另一杆力。

By horizontal symmetry, the two strut forces have the same magnitude $S$. The struts are perpendicular. Resolving perpendicular to one strut,

Hence

把竖直绳力与重力先合并成净向下500牛，两个支杆力与它形成直角力三角形。

The net vertical force excluding the struts is $1000-500=500\,\mathrm{N}$ downwards. Horizontal equilibrium makes the two strut forces equal. In the closed right-angled force triangle,

Thus

合并重力与绳力后，对剩余三个平衡力使用Lami定理。

The weight and rope force combine to a downward force of $500\,\mathrm{N}$. Each strut force makes $135^\circ$ with this downward force, while the two strut forces are perpendicular. By Lami’s theorem,

Hence

AD杆力为零，BD提供全部剩余竖直支持，因此其水平分量就是所需外力大小。

With the force in $AD$ zero, let the force in $BD$ be $S_B$. Vertical equilibrium gives

The horizontal force balances its horizontal component:

垂直BD分解，直接消去唯一剩余支杆力。

With no force in $AD$, resolve perpendicular to $BD$:

Since $\cos45^\circ\ne0$,

净向下力500与外力F分别对应相同夹角的正弦，Lami定理直接给二者相等。

Combine the weight and vertical rope force into $500\,\mathrm{N}$ downwards. With the $AD$ force zero, the remaining three forces are in equilibrium. By Lami’s theorem,

Thus

在闭合直角力三角形中，两条直角边为F和500，角为45度。

The closed force triangle has perpendicular sides $F$ and $500$, with an acute angle of $45^\circ$. Thus