图中给出了一条位于竖直平面内的光滑轨道。$AB$ 段是以 $O$ 为圆心、半径为 $1.8\,\mathrm{m}$ 的四分之一圆弧。$BC$ 段是一条长为 $7.0\,\mathrm{m}$ 的水平直线，且 $OB$ 垂直于 $BC$。$CFE$ 段是一条与水平方向成 $\theta^\circ$ 角、向上倾斜的直线。

一个质量为 $0.5\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 从 $A$ 点由静止释放。$P$ 与静止在 $B$ 点、质量为 $0.1\,\mathrm{kg}$ 的质点 $Q$ 碰撞。碰撞后瞬间，$P$ 沿 $BC$ 方向以 $4\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率运动。你应假设 $P$ 与 $Q$ 碰撞时沿水平方向运动。

(a) 证明：碰撞后瞬间 $Q$ 的速率为 $10\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

当 $Q$ 到达 $C$ 时，它与静止在 $C$ 点、质量为 $0.4\,\mathrm{kg}$ 的质点 $R$ 碰撞。两质点结合在一起。结合后的质点在 $F$ 点瞬时静止。你应假设结合后的质点离开 $C$ 时，以及沿斜面返回并再次经过 $C$ 时，速率均没有瞬时变化。

(b) 已知距离 $CF$ 为 $0.4\,\mathrm{m}$，求 $\theta$ 的值。

(c) 求 $P$ 与结合后的质点碰撞的位置到 $B$ 的距离。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

曲线段用机械能守恒求P到B的速度，再用碰撞动量守恒推出Q速率；不能把曲线段当匀加速。

The track is smooth. From $A$ to $B$, conservation of mechanical energy gives

At the first collision, conservation of horizontal momentum gives

Thus $0.1w=1$, so

第二次碰撞粘合，先守恒动量求合速2，再用上坡动能转势能求θ。

If the common speed after the collision at $C$ is $u$, conservation of momentum gives

The combined particle rises $0.4\sin\theta$ vertically before stopping. Conservation of energy gives

Hence $\sin\theta=1/2$. Since the incline is acute,

碰撞后在直线光滑坡上匀减速，可以由停止距离求减速度，再由重力沿坡分量求角。

At $C$, conservation of momentum gives

Taking up the slope as positive,

Newton’s second law on the smooth slope gives

Therefore

从B处第一次碰撞起追踪：Q用0.7秒到C，合体上、下坡各0.4秒；合体回到C时P已到距B6米处，再用相向速率求相遇点。

Take time zero at the collision at $B$. Particle $Q$ reaches $C$ after $7/10=0.7\,\mathrm{s}$. The combined particle has initial speed $2$ and deceleration magnitude $5$ on the slope, so its ascent takes $2/5=0.4\,\mathrm{s}$. The descent takes the same time, and it returns to $C$ at speed $2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$.

At time $0.7+0.4+0.4=1.5\,\mathrm{s}$, $P$ has travelled $4(1.5)=6\,\mathrm{m}$ from $B$, leaving a $1\,\mathrm{m}$ gap. Their closing speed is $4+2=6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$, so the further time is $1/6\,\mathrm{s}$. The collision point is therefore

也可直接设相遇点距B为b，用P总用时等于Q及合体各段用时之和。

After the first collision, $P$ moves at $4\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Particle $Q$ takes $0.7\,\mathrm{s}$ to reach $C$, and the combined particle takes $0.4\,\mathrm{s}$ to ascend and $0.4\,\mathrm{s}$ to return to $C$, with speed $2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ on returning.

Let the collision point be $b\,\mathrm{m}$ from $B$. Equating times since the first collision,

Multiplying by $4$ gives $b=6+14-2b$, so