图中两个质点 $P$ 和 $Q$ 位于斜面 $ABC$ 的一条最大坡度线上。质点 $P$ 和 $Q$ 的质量均为 $m\,\mathrm{kg}$。斜面与水平面成 $\theta$ 角，其中 $\sin\theta=0.6$。$AB$ 的长度为 $0.75\,\mathrm{m}$，$BC$ 的长度为 $3.25\,\mathrm{m}$。斜面的 $AB$ 段光滑，$BC$ 段粗糙。每个质点与 $BC$ 段之间的摩擦系数均为 $0.25$。质点 $P$ 从 $A$ 处由静止释放。同时，质点 $Q$ 从 $B$ 处由静止释放。

(a) 验证质点 $P$ 在释放后 $0.5\,\mathrm{s}$ 到达 $B$，此时速率为 $3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

(b) 求从两质点释放的瞬间到它们碰撞所经过的时间。

两质点碰撞时结合成一个质点。结合后的质点与斜面之间的摩擦系数仍为 $0.25$。

(c) 求从两质点碰撞的瞬间到结合后的质点到达 $C$ 所经过的时间。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

光滑段只受重力沿坡分量，先求加速度，再实际推出到B所需时间与速度。

On smooth $AB$,

Since $P$ starts from rest and travels $0.75\,\mathrm{m}$,

Its speed at $B$ is

先用能量求B处速度，再用恒加速度运动关系求时间。

The decrease in potential energy on $AB$ equals the gain in kinetic energy:

Thus $v^2=9$, so $\boxed{v=3\,\mathrm{m\,s^{-1}}}$. The constant acceleration is $a=g\sin\theta=6$. Hence

以P到达B后为计时起点，两者都在粗糙段且加速度相同。分别从B量位移，Q的运动时间比P多半秒。

On $BC$, $\cos\theta=0.8$, so each particle has acceleration

Let $t$ be the time after $P$ reaches $B$. Their displacements from $B$ are

At collision,

Thus the time from release is

用相对运动更简短：P到B时Q已领先半米，P比Q快1米每秒。共同加速度使相对速度保持不变。

The acceleration on $BC$ is

At time $0.5\,\mathrm{s}$, $P$ reaches $B$ with speed $3$, while $Q$ has speed $4(0.5)=2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ and is ahead by

Their accelerations are equal, so the closing speed remains $3-2=1\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. The further time is $0.5/1=0.5\,\mathrm{s}$. Hence the total time is

先求碰前两速度，动量守恒求合体初速。碰撞位置距B两米，因此离C只剩1.25米；粗糙段加速度与质量无关，仍为4。

At collision, the velocities down the plane are

in $\mathrm{m\,s^{-1}}$. Conservation of momentum gives

The collision is $\tfrac12(4)(1)^2=2\,\mathrm{m}$ from $B$, leaving $3.25-2=1.25\,\mathrm{m}$ to $C$. For the combined particle,

If $\tau$ is the time after collision,

so

Rejecting the negative root,