质量分别为 $0.6\,\mathrm{kg}$、$0.4\,\mathrm{kg}$ 和 $0.8\,\mathrm{kg}$ 的三个质点 $P$、$Q$ 和 $R$，在光滑水平面上沿一条直线静止放置。$P$ 到 $Q$ 的距离为 $3\,\mathrm{m}$，$Q$ 到 $R$ 的距离也为 $3\,\mathrm{m}$（见图）。$P$ 以 $3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率直接朝 $Q$ 发射。$P$ 与 $Q$ 碰撞后，$P$ 继续沿原方向以 $1.5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率运动。

(a) 求碰撞后 $Q$ 的速率。

在随后 $Q$ 与 $R$ 的碰撞中，这两个质点粘合在一起。

(b) 求此次碰撞后合成质点的速率。

(c) 求从 $P$ 最初发射至 $P$ 与合成质点碰撞的瞬间所经历的时间。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

碰撞时间很短，沿水平线动量守恒。统一取P最初的运动方向为正方向。

Taking the initial direction of $P$ as positive, conservation of momentum gives

Hence

Q、R粘在一起后用共同速度表示末动量。

If their common velocity is $w$, conservation of momentum gives

Therefore

依次求首次碰撞、QR碰撞以及P追上合体的用时。在第二次碰撞时算出相距，再用相对速率。

The time until the first collision is

Afterwards $Q$ reaches $R$ in

During this time $P$ travels $1.5(4/3)=2\,\mathrm{m}$, so it is $1\,\mathrm{m}$ behind the combined particle. Their relative speed is $1.5-0.75=0.75\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. The further time is

Hence the time from projection is

另一种追及参照点：先等P到达R最初的位置，计算合体已领先多远，再算剩余追及时间。

The first collision occurs after $1\,\mathrm{s}$. From then, $P$ takes $3/1.5=2\,\mathrm{s}$ to reach the original position of $R$, whereas $Q$ takes $3/2.25=4/3\,\mathrm{s}$.

By the time $P$ reaches that position, the combined particle has moved for $2-4/3=2/3\,\mathrm{s}$ and is ahead by

The additional time to catch it is

Thus the time from projection is