一个质量为 $0.3\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$，通过一根轻质不可伸长细绳连接到质量为 $0.2\,\mathrm{kg}$ 的质点 $Q$。连接两质点的细绳绷紧，并平行于粗糙斜面的一条最大坡度线，斜面与水平面的夹角为 $30^\circ$。一个大小为 $12\,\mathrm{N}$ 的恒力作用于 $Q$，拉着两质点沿斜面向上运动。该 $12\,\mathrm{N}$ 的力平行于斜面的一条最大坡度线（见图）。每个质点与斜面之间的摩擦系数均为 $0.4$。

(a) 求两质点的加速度大小及细绳中的张力。

(b) 在两质点的速率为 $2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的瞬间，细绳断裂。

求从细绳断裂的瞬间起至 $P$ 瞬时静止所需的时间。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

两粒子沿坡上行，重力分量与摩擦均向下。对整体求共同加速度，再对P单独求张力。

Taking up the plane as positive, the combined normal contact force is

The total friction is $0.4R=\sqrt3\,\mathrm{N}$. For the system,

so

For $P$, its normal force is $0.3(10)\cos30^\circ=3\sqrt3/2$, so

Thus

断绳后P不再有张力，但仍上行，重力与摩擦都使其减速。

After the string breaks, resolving up the plane for $P$ gives

Hence $a=-(5+2\sqrt3)\,\mathrm{m\,s^{-2}}$. Using the initial upward speed 2,

也可先用能量求上行停止距离，再用平均速度求时间。

Let $d$ be $P$‘s distance up the plane after the string breaks. Its initial kinetic energy is used to increase potential energy and overcome friction:

Thus

As the deceleration is constant, $d=\frac12(2+0)t=t$, with $d$ measured in metres and $t$ in seconds. Therefore