一个质量为 $300\,\mathrm{kg}$ 的箱子静止在粗糙水平地面上。箱子与地面之间的摩擦系数为 $0.5$。一个大小为 $X\,\mathrm{N}$ 的力作用于箱子，其方向在水平线上方，与水平线成 $\alpha$ 角，其中 $\sin\alpha=0.28$。

求使箱子保持静止的 $X$ 的最大值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

最大静止拉力对应即将滑动，摩擦达极限。斜拉力向上分量减少支持力，先法向平衡再水平平衡。

Since $\sin\alpha=0.28$ and $\alpha$ is acute, $\cos\alpha=0.96$. Vertical equilibrium gives

At the greatest $X$ for equilibrium, the friction is limiting, so

Hence $1.10X=1500$, giving

At this value, $R=3000-0.28(15000/11)>0$, so the crate remains in contact with the ground.