质量分别为 $0.4\,\mathrm{kg}$ 和 $0.2\,\mathrm{kg}$ 的两个质点 $A$ 和 $B$ 沿光滑斜面的同一条最大坡度线向下运动。斜面与水平面成 $30^\circ$ 角，$A$ 在斜面上的位置高于 $B$。两质点碰撞时，$A$ 和 $B$ 的速率分别为 $3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 和 $2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。此次碰撞使 $A$ 的速率减小为 $2.5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

(a) 求碰撞后瞬间 $B$ 的速率。

碰撞后，$B$ 从碰撞点沿斜面向下移动 $1.6\,\mathrm{m}$ 后撞到一道障碍物，并沿同一条最大坡度线向上返回。$B$ 在碰撞后 $0.4\,\mathrm{s}$ 撞到障碍物，撞击使其速率减小 $90\%$。两质点在上一次碰撞后 $0.44\,\mathrm{s}$ 再次碰撞，并在此次撞击中合为一体。

(b) 证明 $B$ 撞到障碍物后瞬间的速率为 $0.5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。进而求 $A$ 与 $B$ 第二次碰撞后瞬间合并质点的速率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

沿坡向下为正，守恒第一次碰撞动量。

Conservation of momentum gives

Thus $0.2v_B=0.6$, so

重力沿坡分量使两粒子下坡加速度都为5。B反弹后速度为负0.5，只再运动0.04秒；A则从第一次碰撞继续运动0.44秒，两个时间不能混淆。

Taking down the plane as positive, each particle has acceleration

The speed of $B$ just before hitting the barrier is

It loses $90\%$ of its speed, so its speed immediately afterwards is

with velocity $-0.5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ up the plane.

Immediately before the second particle collision,

in $\mathrm{m\,s^{-1}}$. Conservation of momentum then gives

Thus