质点 $A$ 沿水平直轨道以 $8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的恒定速率运动，经过固定点 $O$。四秒后，另一质点 $B$ 经过 $O$，沿一条平行轨道与 $A$ 同向运动。质点 $B$ 经过 $O$ 时的速率为 $20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，其恒定减速度为 $2\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。$B$ 返回 $O$ 时停止运动。

(a) 求 $B$ 经过 $O$ 后 $t$ 秒时各质点相对于 $O$ 的位移关于 $t$ 的表达式。

(b) 求两质点距 $O$ 的距离相同时 $t$ 的值。

(c) 在给定的坐标轴上，画出两个质点在 $t$ 从 $0$ 到 $20$ 范围内的位移—时间图的草图。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

t从B经过O时开始计时，因此A已先走了4秒。两式的时间原点要保持一致。

Taking the initial direction of motion as positive, at $t=0$ particle $A$ is $8(4)=32\,\mathrm{m}$ ahead of $O$. Hence

For $B$, the initial velocity is $20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ and the acceleration is $-2\,\mathrm{m\,s^{-2}}$. Therefore

Both displacements are in metres, with $t$ in seconds, for the motion up to $B$‘s return to $O$.

在B返回O之前，两粒子位移都非负，因此同距离可直接令位移相等。

For $0\le t\le20$, $s_A>0$ and $s_B=t(20-t)\ge0$. Equal distances from $O$ therefore require

Thus $\boxed{t=4\,\mathrm{s}\text{ or }8\,\mathrm{s}}$. Both values lie in the required interval. After $B$ stops at $O$, $A$ continues away, so there are no later equal-distance times.

A是截距32、斜率8的直线；B配方后可看出顶点为(10,100)。标出两条曲线的交点。

Sketch the graphs on axes labelled $t\,(\mathrm{s})$ and $s\,(\mathrm{m})$ for $0\le t\le20$:

• $A$: the straight line $s=32+8t$, from $(0,32)$ to $(20,192)$.
• $B$: the downward-opening parabola $s=100-(t-10)^2$, through $(0,0)$ and $(20,0)$, with maximum at $(10,100)$.
• Mark the intersections $(4,64)$ and $(8,96)$.