质点 $P$ 沿经过 $O$ 点的直线运动。经过 $O$ 后 $t\,\mathrm{s}$ 时，$P$ 的速度 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 由下式给出：

其中 $b$ 和 $c$ 为正常数。在 $t=5$ 时，$P$ 的速度为零，加速度为 $-\frac{13}{12}\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

(a) 证明 $b=9$，并求 $c$ 的值。

(b) 已知 $P$ 的速度仅在 $t=5$ 时为零，求运动的前 $10$ 秒内经过的路程。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

将t=5时的速度和加速度分别代入，联立求b和c；不能先假定要证明的b=9。

Since $v(5)=0$,

Multiplying by $36$,

Differentiating,

Using $a(5)=-13/12$ gives

Multiplying by $-108$,

Subtracting (1) from (2), $1980c=198$, so

Substituting into (1),

as required.

速度只在t=5为零，且最初为正，10秒时为负。因此在5秒处分开积分，再把两段路程相加。

With $b=9$ and $c=1/10$,

Since $v(0)>0$, $v(10)<0$, and the only zero is at $t=5$, the particle moves forwards on $0\le t<5$ and backwards on $5<t\le10$.

An antiderivative of $v$ is

In particular,

Thus the total distance is