一个质量为 $0.6\,\mathrm{kg}$ 的质点放在与水平面成 $35^\circ$ 角的粗糙斜面上。一个大小为 $P\,\mathrm{N}$ 的水平力使质点保持平衡，该力位于包含一条最大坡度线的竖直平面内（见图）。质点与斜面之间的摩擦系数为 $0.4$。

求 $P$ 的最小可能值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

最小水平推力对应即将下滑，摩擦向上且达到极限。水平推力同时压紧斜面，支持力也含P的分量。

For the least $P$, the particle is on the point of sliding down, so limiting friction acts up the plane. Resolving perpendicular to the plane,

Resolving up the plane with $F=0.4R$,

Substituting for $R$ gives

Hence

也可沿水平、竖直方向分解支持力与摩擦，先解出支持力，再求水平推力。

At the least $P$, limiting friction acts up the slope, with $F=0.4R$. Vertical and horizontal equilibrium give

Thus

Therefore