一个质点 $P$ 从点 $O$ 由静止开始沿直线运动。离开 $O$ 后 $t\,\mathrm{s}$ 时，$P$ 的速度 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 由 $v=bt+ct^{\frac32}$ 给出，其中 $b$ 和 $c$ 为常数。$P$ 在 $t=4$ 时的速度为 $8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，在 $t=9$ 时的速度为 $13.5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

(a) 证明：$b=3$ 且 $c=-0.5$。

(b) 求 $t=1$ 时 $P$ 的加速度。

(c) 求 $P$ 瞬时静止时 $t$ 的正值，并求此时 $P$ 到 $O$ 的距离。

(d) 求 $P$ 返回 $O$ 的瞬间的速率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

两个给定速度提供两个线性方程，先适当约简再相减求b和c。

Substituting the given times and velocities gives

Dividing by $4$ and $9$, respectively,

Subtracting gives $c=-0.5$, and then $b=3$. Thus

速度微分求加速度，再代t等于1。

Using (a),

Thus

求速度的非零根，再积分位移并使用初始位移零。该时刻之前速度为正，所以距离就是位移。

The velocity is

The positive time at rest satisfies $\sqrt t=6$, giving $\boxed{t=36\,\mathrm{s}}$.

Integrating and using $s(0)=0$,

The velocity is positive for $0<t<36$. Hence the distance from $O$ at this instant is

回到O对应位移零，排除t等于0。代回速度得负值，但题目要速率，应取绝对值。

For a return to $O$ at $t>0$,

Thus $\sqrt t=15/2$, so $t=225/4=56.25$. The velocity then is

Hence the speed is