题目

Problem

Two particles $P$ and $Q$ , of masses $2\,\mathrm{kg}$ and $0.25\,\mathrm{kg}$ respectively, are connected by a light inextensible string that passes over a fixed smooth pulley. Particle $P$ is on an inclined plane at an angle of $30^\circ$ to the horizontal. Particle $Q$ hangs below the pulley. Three points $A$ , $B$ and $C$ lie on a line of greatest slope of the plane with $AB=0.8\,\mathrm{m}$ and $BC=1.2\,\mathrm{m}$ (see diagram).

Particle $P$ is released from rest at $A$ with the string taut and slides down the plane. During the motion of $P$ from $A$ to $C$ , $Q$ does not reach the pulley. The part of the plane from $A$ to $B$ is rough, with coefficient of friction $0.3$ between the plane and $P$ . The part of the plane from $B$ to $C$ is smooth.

(a) (i) Find the acceleration of $P$ between $A$ and $B$ .

(4)

(ii) Hence, find the speed of $P$ at $C$ .

(5)

(b) Find the time taken for $P$ to travel from $A$ to $C$ .

(4)

题目中文翻译

两个质点 $P$ 和 $Q$ 的质量分别为 $2\,\mathrm{kg}$ 和 $0.25\,\mathrm{kg}$ ，由一根绕过固定光滑滑轮的不可伸长轻绳连接。质点 $P$ 位于与水平面成 $30^\circ$ 角的斜面上。质点 $Q$ 悬挂在滑轮下方。三个点 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 位于斜面的一条最大坡度线上，其中 $AB=0.8\,\mathrm{m}$ ， $BC=1.2\,\mathrm{m}$ （见图）。

质点 $P$ 在绳绷紧的情况下从 $A$ 点由静止释放，沿斜面向下滑动。在 $P$ 从 $A$ 运动到 $C$ 的过程中， $Q$ 不会到达滑轮。斜面从 $A$ 到 $B$ 的部分粗糙，斜面与 $P$ 之间的摩擦系数为 $0.3$ 。斜面从 $B$ 到 $C$ 的部分光滑。

(a) (i) 求 $P$ 在 $A$ 与 $B$ 之间运动时的加速度。

(4)

(ii) 由此求 $P$ 在 $C$ 点的速率。

(5)

(b) 求 $P$ 从 $A$ 运动到 $C$ 所用的时间。

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ( $g$ ) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

P下坡、Q上升。粗糙段支持力决定摩擦，对整体列牛顿第二定律消去张力。

答题过程

展开

On $AB$ , the friction on $P$ is

F=0.3(2)(10)\cos30^\circ=3\sqrt3\,\mathrm{N}.

Resolving for the whole system in the direction of motion,

2(10)\sin30^\circ-F-0.25(10)=2.25a_1.

Therefore

\boxed{a_1=\frac{10-4\sqrt3}{3}\,\mathrm{m\,s^{-2}}} \approx1.02\,\mathrm{m\,s^{-2}}.

(a)(ii)

解法一

思路

展开

承接(a)(i)先求B处速率，进入光滑段后重新求加速度，再求C处速率。

答题过程

展开

Using the acceleration from (a)(i), the speed $u$ at $B$ satisfies

u^2=2a_1(0.8)=\frac{80-32\sqrt3}{15}.

u=1.279957\ldots\,\mathrm{m\,s^{-1}}.

On smooth $BC$ , the system equation gives

10-2.5=2.25a_2,\qquad a_2=\frac{10}{3}.

Thus the speed $v$ at $C$ satisfies

v^2=u^2+2\bigg(\frac{10}{3}\bigg)(1.2)=u^2+8.

Hence

v\approx\boxed{3.10\,\mathrm{m\,s^{-1}}}.

解法二

思路

展开

承接粗糙段加速度求B速率，光滑段则对系统写机械能变化，不需重新算张力。

答题过程

展开

From (a)(i),

u^2=2a_1(0.8)=\frac{80-32\sqrt3}{15}.

Over $BC$ , the decrease in the system’s potential energy is

2(10)(1.2)\sin30^\circ-0.25(10)(1.2)=9\,\mathrm{J}.

There is no friction on this section, so

\frac12(2.25)(v^2-u^2)=9, \qquad v^2=u^2+8.

Therefore

v\approx\boxed{3.10\,\mathrm{m\,s^{-1}}}.

解法三

思路

展开

用(a)(i)的系统受力结果识别粗糙段摩擦，再对整个A到C过程作能量平衡，摩擦只作用于前0.8米。

答题过程

展开

From the system equation in (a)(i), the friction on $AB$ is $F=7.5-2.25a_1=3\sqrt3\,\mathrm{N}$ . Over the complete $2\,\mathrm{m}$ journey, $P$ descends vertically by $1\,\mathrm{m}$ and $Q$ rises by $2\,\mathrm{m}$ .

The total loss in potential energy is

2(10)(2\sin30^\circ)-0.25(10)(2)=15\,\mathrm{J}.

The work-energy equation is

\frac12(2.25)v^2+3\sqrt3(0.8)=15.

Hence

v=\sqrt{\frac{15-2.4\sqrt3}{1.125}} \approx\boxed{3.10\,\mathrm{m\,s^{-1}}}.

解法四

思路

展开

两阶段分别用能量，也能清楚保留B处的速度衔接。第一段摩擦取自(a)(i)，第二段没有摩擦。

答题过程

展开

Using $F=7.5-2.25a_1=3\sqrt3$ from (a)(i), the work-energy equation on $AB$ is

\begin{align*} 1.125u^2+0.8F=&\,2(10)(0.8)\sin30^\circ\\[4mm] &\,\hspace{2pt}-0.25(10)(0.8). \end{align*}

Thus

1.125u^2=6-2.4\sqrt3, \qquad u^2=\frac{80-32\sqrt3}{15}.

On $BC$ ,

\begin{align*} \frac12(2.25)(v^2-u^2)=&\,2(10)(1.2)\sin30^\circ\\[4mm] &\,\hspace{2pt}-0.25(10)(1.2)\\[4mm] =&\,9. \end{align*}

Therefore $v^2=u^2+8$ , giving

v\approx\boxed{3.10\,\mathrm{m\,s^{-1}}}.

(b)

解法一

思路

展开

每段各自匀加速，分开求时间。保留B、C速度未舍入值，第二段可用平均速率。

答题过程

展开

Let $u$ and $v$ be the unrounded speeds at $B$ and $C$ from (a)(ii). On $AB$ ,

t_1=\frac{u}{a_1}=1.250041\ldots\,\mathrm{s}.

On $BC$ , using the average speed,

t_2=\frac{2(1.2)}{u+v}=0.547380\ldots\,\mathrm{s}.

Hence the total time is

t_1+t_2\approx\boxed{1.80\,\mathrm{s}}\quad\text{(3 s.f.)}.

CIE 9709 2023 June Paper 42 Q7

题目

解答

(a)(i)

解法一

思路

答题过程

(a)(ii)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

解法三

思路

答题过程

解法四

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程