题目

Problem

A smooth ring $R$ of mass $0.2\,\mathrm{kg}$ is threaded on a light string $ARB$ . The ends of the string are attached to fixed points $A$ and $B$ with $A$ vertically above $B$ . The string is taut and angle $ABR=90^\circ$ . The angle between the part $AR$ of the string and the vertical is $60^\circ$ . The ring is held in equilibrium by a force of magnitude $X\,\mathrm{N}$ , acting on the ring in a direction perpendicular to $AR$ (see diagram).

Calculate the tension in the string and the value of $X$ .

(5)

题目中文翻译

一个质量为 $0.2\,\mathrm{kg}$ 的光滑圆环 $R$ 套在轻绳 $ARB$ 上。绳的两端连接到固定点 $A$ 和 $B$ ，其中 $A$ 位于 $B$ 的正上方。绳处于绷紧状态，且 $\angle ABR=90^\circ$ 。绳的 $AR$ 段与竖直方向的夹角为 $60^\circ$ 。一个大小为 $X\,\mathrm{N}$ 、方向垂直于 $AR$ 的力作用于圆环，使其保持平衡（见图）。

计算绳的张力及 $X$ 的值。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ( $g$ ) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。

解答

解法一

思路

展开

光滑环上同一根轻绳两边张力相同。水平有两项向左张力，竖直只有斜绳的向上分量，不能漏掉水平绳张力。

答题过程

展开

Let the common tension be $T$ . Resolving horizontally and vertically,

X\cos60^\circ=T+T\cos30^\circ,

X\sin60^\circ+T\sin30^\circ=2.

Hence

X=(2+\sqrt3)T.

Substituting into the vertical equation gives

\frac{\sqrt3}{2}(2+\sqrt3)T+\frac T2=2,

so $(2+\sqrt3)T=2$ . Thus

\boxed{T=4-2\sqrt3\,\mathrm{N}\approx0.536\,\mathrm{N}}, \qquad\boxed{X=2}.

解法二

思路

展开

沿X方向及其垂直方向分解，垂直方程可直接求张力，随后沿X求力。

答题过程

展开

The two tensions are equal because the ring is smooth. Resolving perpendicular to $X$ gives

T+T\cos30^\circ=2\cos60^\circ=1.

Therefore

\begin{align*} T=&\,\frac{1}{1+\sqrt3/2}\\[4mm] =&\,(4-2\sqrt3)\,\mathrm{N}\\[4mm] \approx&\,\boxed{0.536\,\mathrm{N}}. \end{align*}

Resolving parallel to $X$ ,

\begin{align*} X=&\,2\cos30^\circ+T\cos60^\circ\\[4mm] =&\,\sqrt3+\frac{4-2\sqrt3}{2}\\[4mm] =&\,\boxed{2}. \end{align*}

CIE 9709 2023 June Paper 43 Q3

题目

解答

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程