一辆质量为 $15000\,\mathrm{kg}$ 的货车沿笔直的水平道路从 $A$ 向 $B$ 行驶。它经过 $A$ 和 $B$ 时的速率分别为 $20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 和 $25\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。货车发动机的功率恒定，受到的运动阻力大小恒为 $6000\,\mathrm{N}$。货车在 $B$ 点的加速度是在 $A$ 点的加速度的 $0.5$ 倍。

(a) 证明货车发动机的功率为 $200\,\mathrm{kW}$，并由此求货车以 $20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率行驶时的加速度。

货车开始沿一个与水平面成 $1^\circ$ 角的笔直山坡向上行驶。已知货车发动机的功率及阻力均不变。

(b) 求货车能够保持的上坡稳定速率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

用同一个功率P表示两速率下的驱动力。两个牛顿方程消去加速度，实际推出P，再由20米每秒状态求加速度。

Let the acceleration at $A$ be $a$, so the acceleration at $B$ is $a/2$. With power $P$ in watts,

Twice the second equation minus the first gives

Thus

Hence, at speed $20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$,

so

也可先把功率表示成加速度的两个表达式，联立求a后求P。

The driving forces at $A$ and $B$ are $15000a+6000$ and $7500a+6000$. Since power is constant,

Expanding,

so

Therefore

给定功率结论也可验证，但必须同时检查两个速率处的加速度符合一半关系，不能只代入一个状态。

For $P=200000\,\mathrm{W}$, the driving forces at speeds $20$ and $25\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ are

Newton’s second law gives

Thus $a_B=a_A/2$, as required. The stated power $\boxed{200\,\mathrm{kW}}$ satisfies both conditions, and the acceleration at speed $20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ is $\boxed{4/15\,\mathrm{m\,s^{-2}}}$.

稳速上坡时推力平衡恒阻力及重力沿坡分量，功率保持200千瓦。

At steady speed $v>0$,

Hence