一个质点从点 $O$ 由静止开始沿直线运动。离开 $O$ 后 $t\,\mathrm{s}$ 时，质点的加速度为 $a\,\mathrm{m\,s^{-2}}$；在 $0\leqslant t\leqslant9$ 内，$a=kt^{\frac12}$，其中 $k$ 为常数。质点在 $t=9$ 时的速度为 $1.8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

(a) 证明：$k=0.1$。

当 $t>9$ 时，质点的速度 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 由 $v=0.2(t-9)^2+1.8$ 给出。

(b) 证明：前 $9$ 秒内经过的距离是 $t=9$ 至 $t=18$ 之间经过的距离的十分之一。

(c) 求质点在运动的前 $10$ 秒内的最大加速度。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

加速度积分得速度，静止出发使积分常数为零，再代t等于9的速度求k。

Integrating the acceleration for $0\le t\le9$,

Since $v(0)=0$, $C=0$. Using $v(9)=1.8$,

Therefore

两段速度均为正，可以直接积分求路程；第二段用t减9的形式积分可减少展开。

From (a), the velocity during the first stage is $v=t^{3/2}/15$. Its distance is

For the second stage,

Both velocities are positive, so these integrals are distances. Since $6.48=64.8/10$,

两段分别求加速度最大值后比较，不能只算最后时刻。第一段递增到0.3，第二段在10秒达到0.4。

For $0\le t\le9$,

For $9<t\le10$,

Since $0.4>0.3$, the greatest acceleration during the first $10$ seconds is

attained at $t=10$.