一个质点从点 $O$ 出发沿直线运动。离开 $O$ 后 $t\,\mathrm{s}$ 时，质点的速度为 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。已知 $v=kt^{\frac12}-2t-8$，其中 $k$ 为正常数。质点的最大速度为 $4.5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

(a) 证明 $k=10$。

(b) (i) 验证当 $t=1$ 和 $t=16$ 时，$v=0$。

(ii) 求质点在最初 $16\,\mathrm{s}$ 内经过的路程。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

速度最大时加速度为零，由此把极值时刻表示成k，再代入最大速度4.5。k为正，故最后取正根。

For $t>0$,

Setting $a=0$ gives $\sqrt t=k/4$, so $t=k^2/16$. The acceleration changes from positive to negative at this time, so the velocity is a maximum. Substitution gives

Thus $k^2=100$. Since $k>0$,

令x等于根号t，将速度看成x的二次式，配方直接读最大值。因为k正，顶点落在允许的x非负范围内。

Let $x=\sqrt t\ge0$. Completing the square gives

Since $k>0$, the vertex $x=k/4$ is in the domain. Hence the maximum velocity is $k^2/8-8$. Therefore

Taking the positive root,

把两个指定时刻逐一代入速度式验证。

Using $k=10$,

Thus both stated times give instantaneous rest.

先按两个静止时刻分段；初段速度为负，其位移取相反数，后段速度为正。不能直接对整段速度积分当作路程。

Writing $x=\sqrt t$,

Thus $v<0$ for $0\le t<1$, and $v>0$ for $1<t<16$. An antiderivative of the velocity is

Its values are

Therefore the total distance is