三个质点 $A$、$B$ 和 $C$ 的质量分别为 $5\,\mathrm{kg}$、$1\,\mathrm{kg}$ 和 $2\,\mathrm{kg}$，按此顺序静止在一条笔直光滑的水平轨道 $XYZ$ 上。最初，$A$ 位于 $X$，$B$ 位于 $Y$，$C$ 位于 $Z$。质点 $A$ 以 $6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率向 $B$ 抛出；同时，$C$ 以 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率向 $B$ 抛出。在随后的运动中，$A$ 与 $B$ 碰撞并结合成质点 $D$。质点 $D$ 随后与 $C$ 碰撞并结合成质点 $E$，且 $E$ 向 $Z$ 运动。

(a) 证明第二次碰撞后 $E$ 的速率为 $\frac{15-v}{4}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

(b) 两次碰撞造成的系统总动能损失为 $63\,\mathrm{J}$。

利用 (a) 的结果证明 $v=3$。

(c) 已知距离 $XY$ 为 $36\,\mathrm{m}$，距离 $YZ$ 为 $98\,\mathrm{m}$。

(i) 求两次碰撞之间的时间。

(ii) 求从 $A$ 由 $X$ 抛出的瞬间到 $E$ 到达 $Z$ 的瞬间所经过的时间。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

沿X到Z为正，两次碰撞逐次守恒动量，注意C的速度为负。

Taking motion towards $Z$ as positive, conservation of momentum at the first collision gives

At the second collision,

Hence

Since $E$ moves towards $Z$, this is positive, so its speed is

用初始总动能减最终总动能等于63，代入上一问的速度表达式，实际因式分解并舍弃负速率。

Using (a), the total loss of kinetic energy gives

Thus

Multiplying by $4$ and expanding,

so

Since $v$ is a speed, $v=-13$ is inadmissible. Therefore

也可以把两次损失分别处理，先扣除第一次碰撞已损失的15焦耳，再让第二次损失等于48。

From (a), the speed of $D$ is $5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. The loss at the first collision is

Thus the second collision loses $63-15=48\,\mathrm{J}$. Using the speed of $E$ from (a),

Therefore

Expanding and factorising gives

Rejecting the negative speed gives

给定结论也可直接回代能量条件验证：必须使用上一问求得的合体速度，并明确指出总损失符合63焦耳。

For $v=3$, the result of (a) gives

The initial and final kinetic energies are

Hence the total loss is $99-36=63\,\mathrm{J}$, as required, verifying $\boxed{v=3}$.

首次碰撞前C也在运动。先从98米中扣除C已走的距离，再用D、C相向运动的相对速率。

The first collision occurs after

By then $C$ has moved $3(6)=18\,\mathrm{m}$ towards $Y$, leaving a separation of $98-18=80\,\mathrm{m}$ between $D$ and $C$. Their closing speed is $5+3=8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Hence the time between collisions is

第二次碰撞发生在Z左方C已走的总距离处；合体速率为3，求最后一段用时并加上前两段。

By the second collision, $C$ has travelled $3(6+10)=48\,\mathrm{m}$ from $Z$. Particle $E$ then covers this distance towards $Z$ at speed $3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Thus the total time is