题目

Problem

A particle $X$ moves along a straight track, starting from a point $O$ at time $t=0$ . The displacement of $X$ from $O$ at time $t\,\mathrm{s}$ is $s\,\mathrm{m}$ , where $s=3t^{\frac32}-6t$ .

(a) Find the time at which $X$ is instantaneously at rest, and hence find the total distance travelled by $X$ between $t=0$ and $t=16$ .

(6)

A second particle $Y$ moves along another straight track, starting from a point $P$ at time $t=0$ . The acceleration of $Y$ at time $t\,\mathrm{s}$ is $a\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ , where $a=0.8-0.6t$ . The velocity of $Y$ when it leaves $P$ is $7.5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

(b) When the velocity of $Y$ is $-9.6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , show that the displacement of $X$ from $O$ is equal to the displacement of $Y$ from $P$ .

(7)

题目中文翻译

一个质点 $X$ 沿直线轨道运动，在时刻 $t=0$ 从点 $O$ 出发。在 $t\,\mathrm{s}$ 时， $X$ 相对于 $O$ 的位移为 $s\,\mathrm{m}$ ，其中 $s=3t^{\frac32}-6t$ 。

(a) 求 $X$ 瞬时静止的时刻，并由此求 $X$ 在 $t=0$ 至 $t=16$ 之间运动的总路程。

(6)

第二个质点 $Y$ 沿另一条直线轨道运动，在时刻 $t=0$ 从点 $P$ 出发。在 $t\,\mathrm{s}$ 时， $Y$ 的加速度为 $a\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ ，其中 $a=0.8-0.6t$ 。 $Y$ 离开 $P$ 时的速度为 $7.5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。

(b) 当 $Y$ 的速度为 $-9.6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 时，证明 $X$ 相对于 $O$ 的位移等于 $Y$ 相对于 $P$ 的位移。

(7)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ( $g$ ) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。

解答

(a)

解法一

思路

展开

位移求导得到速度，16/9秒反向，路程分负向与正向两段求大小。

答题过程

展开

v_X=\frac{\mathrm{d}s_X}{\mathrm{d}t}=\frac92\sqrt t-6.

At instantaneous rest,

\sqrt t=\frac43, \qquad \boxed{t=\frac{16}{9}\text{ s}}.

The velocity is negative before this time and positive afterwards. The displacements are

s_X(0)=0,

\begin{align*} s_X\biggl(\frac{16}{9}\biggr) =&\,3\biggl(\frac43\biggr)^3-6\biggl(\frac{16}{9}\biggr)\\[4mm] =&\,-\frac{32}{9}. \end{align*}

s_X(16)=3(16)^{3/2}-6(16)=96.

Thus the total distance is

\frac{32}{9}+\biggl(96+\frac{32}{9}\biggr) =\boxed{\frac{928}{9}\text{ m}}.

(b)

解法一

思路

展开

先积分Y加速度并由初速度定常数；令速度为−9.6得正时间9，再分别代入两位移式。

答题过程

展开

Integrating $Y$ ‘s acceleration,

v_Y=0.8t-0.3t^2+C.

Since $v_Y(0)=7.5$ , $C=7.5$ . Thus $v_Y=-9.6$ when

0.8t-0.3t^2+7.5=-9.6,

3t^2-8t-171=(t-9)(3t+19)=0.

Rejecting the negative root $-19/3$ , the required time is $t=9$ seconds.

Integrating the velocity and taking displacement from $P$ to be zero at $t=0$ gives

s_Y=0.4t^2-0.1t^3+7.5t.

At $t=9$ ,

\begin{align*} s_Y=&\,0.4(9)^2-0.1(9)^3+7.5(9)\\[4mm] =&\,27\text{ m}. \end{align*}

At the same time,

s_X=3(9)^{3/2}-6(9)=81-54=27\text{ m}.

Hence the two displacements are equal, as required.

CIE 9709 2025 June Paper 41 Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程