题目

Problem

A particle $P$ moves in a straight line and passes through the point $A$ at time $t=0$ . The velocity $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ of $P$ at time $t$ seconds is given by

v=(2t+1)^{\frac32}-2t^2,\quad\text{where }0\leqslant t\leqslant3.

(a) Find the maximum velocity of $P$ in the interval $0\leqslant t\leqslant3$ .

(5)

It is given that in the interval $0\leqslant t\leqslant3$ the velocity of $P$ is always positive.

(b) Find the distance of $P$ from $A$ at the instant when $P$ is moving at this maximum velocity.

(4)

题目中文翻译

一个质点 $P$ 沿直线运动，在时刻 $t=0$ 经过点 $A$ 。在 $t$ 秒时， $P$ 的速度为 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ，由下式给出：

v=(2t+1)^{\frac32}-2t^2,\quad 0\leqslant t\leqslant3.

(a) 求 $P$ 在区间 $0\leqslant t\leqslant3$ 内的最大速度。

(5)

已知在区间 $0\leqslant t\leqslant3$ 内， $P$ 的速度始终为正。

(b) 求 $P$ 以该最大速度运动的瞬间， $P$ 到 $A$ 的距离。

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ( $g$ ) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。

解答

(a)

解法一

思路

展开

速度求导后令零，平方前注意t非负。求根并回查，比较端点确认全区间最大值。

答题过程

展开

Differentiating,

a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=3\sqrt{2t+1}-4t.

At a stationary value of the velocity,

3\sqrt{2t+1}=4t.

Squaring gives

9(2t+1)=16t^2.

Hence

\begin{align*} 16t^2-18t-9=&\,0,\\[4mm] (2t-3)(8t+3)=&\,0. \end{align*}

Only $t=3/2$ lies in $[0,3]$ , and it satisfies the unsquared equation. The acceleration is positive before this time and negative afterwards. Also,

v(0)=1,\qquad v(3)=7\sqrt7-18\approx0.520,

v(3/2)=4^{3/2}-2(3/2)^2=8-4.5=3.5.

Hence the maximum velocity is $\boxed{3.5\text{ m s}^{-1}}$ .

(b)

解法一

思路

展开

速度始终为正，距离就是从0到1.5的速度积分，不能直接用原函数在1.5的值漏减下限。

答题过程

展开

The maximum velocity occurs at $t=3/2$ . Since the velocity is positive, the distance from $A$ is

\begin{align*} d=&\,\int_0^{3/2}\bigl[(2t+1)^{3/2}-2t^2\bigr]\,\mathrm{d}t\\[4mm] =&\,\biggl[\frac15(2t+1)^{5/2}-\frac23t^3\biggr]_0^{3/2}\\[4mm] =&\,\biggl(\frac{32}{5}-\frac94\biggr)-\frac15\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{79}{20}\text{ m}}. \end{align*}

CIE 9709 2025 June Paper 42 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程