一辆质量为 $2500\,\mathrm{kg}$ 的厢式货车以 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率行驶时，受到 $kv^2\,\mathrm{N}$ 的阻力。货车发动机的功率恒为 $62.5\,\mathrm{kW}$。

(a) 货车沿水平直路行驶时能够维持的稳定速率为 $50\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

证明 $k=0.5$，并求货车在这条水平直路上以 $25\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率行驶时的加速度。

货车开始沿一条与水平面成 $\theta^\circ$ 角的山坡上行，运动方向沿山坡的一条最大坡度线。货车在坡底的速率为 $20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，加速度为 $5a\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。之后，在同一山坡上，货车的速率为 $30\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，加速度为 $a\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。货车发动机的功率仍为 $62.5\,\mathrm{kW}$，阻力仍为 $0.5v^2\,\mathrm{N}$。

(b) 求 $a$ 和 $\theta$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

稳速时牵引力等于k50²，由功率关系求k；到25时牵引力和阻力均需重新计算。

At steady speed $50\,\mathrm{m\,s^{-1}}$, the driving force equals the resistance. Hence

as required.

At $25\,\mathrm{m\,s^{-1}}$, Newton’s second law gives

Therefore

同一坡的重力分量相同，列20与30速率的两条方程相减消去角度，再回代。

Resolving up the hill at the two instants gives

Subtracting (2) from (1),

Thus

Substituting into (2),

Hence