一个质点 $X$ 沿直线运动。离开 $O$ 后 $t\,\mathrm{s}$ 时，$X$ 相对于 $O$ 的位移为 $s\,\mathrm{m}$，其中在 $0\leqslant t\leqslant4$ 内，$s=0.3t^2+0.6t$。

(a) 求 $X$ 在 $t=4$ 时的速度。

对于 $t>4$，离开 $O$ 后 $t\,\mathrm{s}$ 时，$X$ 的加速度为 $a\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，其中 $a=0.3t^{\frac12}$。$X$ 在 $t=4$ 时速度没有变化。$X$ 在 $t=T$ 时的速度为 $14.2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

(b) (i) 求 $T$ 的值。

(ii) 求 $X$ 在 $t=0$ 至 $t=T$ 之间运动的总路程。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

第一段位移求导，再代4。

At $t=4$,

第二段从加速度积分，常数用t4的连续速度3确定，不能把t4误当新时间零点。

For $t>4$,

Continuity at $t=4$ gives

At $t=T$,

两阶段速度均正，总路程为第一段位移7.2加第二段4到16的积分。

For $0\leq t\leq4$, the velocity $0.6t+0.6$ is positive. For $t>4$, the velocity $0.2t^{3/2}+1.4$ is also positive, so there is no reversal.

The first-stage distance is

For the second stage,

Hence the total distance is