三个半径相同的光滑小球 $A$、$B$ 和 $C$，质量分别为 $m\,\mathrm{kg}$、$2\,\mathrm{kg}$ 和 $4\,\mathrm{kg}$，按此顺序沿一直线静置在光滑水平面上。小球 $A$ 以 $2m\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率直接向 $B$ 发射，$B$ 以 $(m+2)\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率直接向 $A$ 发射。两球碰撞后，$A$ 和 $B$ 都沿 $A$ 原来的运动方向运动，速率分别为 $2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 和 $3.25\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

(a) 求 $m$ 的值。

$A$ 和 $B$ 碰撞后，小球 $B$ 直接向 $C$ 运动。随后 $B$ 与 $C$ 碰撞。碰撞后，$B$ 和 $C$ 沿相同方向运动，这次 $B$ 与 $C$ 的碰撞造成的动能损失为 $6.875\,\mathrm{J}$。

(b) 判断 $A$ 和 $B$ 是否会再次碰撞。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

以A初运动方向为正，B初速度为负；动量守恒后解质量的二次方程并舍负根。

Take $A$‘s initial direction as positive. Conservation of momentum in the first collision gives

Therefore

Since $m$ is a positive mass, reject $m=-1.5$ and obtain

对BC碰撞同时列动量与动能损失方程，求碰后速度；用两球分离条件排除伪组合，再与A速度比较。

Let $v_B$ and $v_C$ be the velocities after the second collision, taking the same positive direction as in (a). Conservation of momentum gives

The given loss of kinetic energy gives

so

Eliminating $v_B$,

The possible velocity pairs are

Since $B$ is behind $C$, the spheres must separate after their collision. The second pair has $v_B>v_C$ and is inadmissible. Thus $v_B=0.75\,\mathrm{m\,s^{-1}}$.

Sphere $A$ is behind $B$ and still moves at $2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Since $2>0.75$, $A$ catches $B$, so there is a further collision.